Probabilité cumulée

Raphael Tagliani

05/06/2006 à 09:58

A mon avis, pas de classe pour ce genre de calculs. Il devrait y avoir
tout ce que tu cherche ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Combinatoire
Mais fais bien attention à ce que tu cherche: une probabilité, une
moyenne ou une espérence?

1 connue wrote:

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

D'avance merrci.

Pierre

Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita http://www.x-privat.org/join.php

Pierre Maurette

05/06/2006 à 10:23

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS
un six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité
de ne pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six
sur deux lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le
deuxième. Donc (5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la
probabilité de n'avoir aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6)
soit (5/6)^n (^ : puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un
six en n lancers est: 1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire,
ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut
procéder par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de
séquences de lancers favorables possibles divisé par le nombre de
séquences de lancers possibles. Le nombre de séquences de lancers
possibles, c'est un peu comme le nombre de "mots" de n lettres
différents écrits avec un alphabet de 6 lettres, donc 6^n. Ici, les
lancers défavorables seront ceux qui ne contiennent aucun six, donc
l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive heureusement au même
résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n
fois sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer
concerné) x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers
favorable est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers
possibles est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par
dénombrement amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une
division finale, et que si on est certain de na pas dépasser la
capacité des entiers, c'est la solution la plus précise. Par
probabilités élémentaires, on aura toujours un résultat, mais menant
tous les calculs en floattants, on aura un gros risque de perte de
prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas
"résoudre" la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans
un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers
est égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec
n-1 lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) *
(java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
Pierre

--
Pierre Maurette

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS
un six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité
de ne pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six
sur deux lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le
deuxième. Donc (5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la
probabilité de n'avoir aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6)
soit (5/6)^n (^ : puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un
six en n lancers est: 1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire,
ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut
procéder par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de
séquences de lancers favorables possibles divisé par le nombre de
séquences de lancers possibles. Le nombre de séquences de lancers
possibles, c'est un peu comme le nombre de "mots" de n lettres
différents écrits avec un alphabet de 6 lettres, donc 6^n. Ici, les
lancers défavorables seront ceux qui ne contiennent aucun six, donc
l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive heureusement au même
résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n
fois sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer
concerné) x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers
favorable est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers
possibles est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par
dénombrement amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une
division finale, et que si on est certain de na pas dépasser la
capacité des entiers, c'est la solution la plus précise. Par
probabilités élémentaires, on aura toujours un résultat, mais menant
tous les calculs en floattants, on aura un gros risque de perte de
prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas
"résoudre" la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans
un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers
est égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec
n-1 lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) *
(java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
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Pierre Maurette

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Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS
un six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité
de ne pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six
sur deux lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le
deuxième. Donc (5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la
probabilité de n'avoir aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6)
soit (5/6)^n (^ : puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un
six en n lancers est: 1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire,
ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut
procéder par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de
séquences de lancers favorables possibles divisé par le nombre de
séquences de lancers possibles. Le nombre de séquences de lancers
possibles, c'est un peu comme le nombre de "mots" de n lettres
différents écrits avec un alphabet de 6 lettres, donc 6^n. Ici, les
lancers défavorables seront ceux qui ne contiennent aucun six, donc
l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive heureusement au même
résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n
fois sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer
concerné) x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers
favorable est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers
possibles est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par
dénombrement amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une
division finale, et que si on est certain de na pas dépasser la
capacité des entiers, c'est la solution la plus précise. Par
probabilités élémentaires, on aura toujours un résultat, mais menant
tous les calculs en floattants, on aura un gros risque de perte de
prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas
"résoudre" la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans
un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers
est égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec
n-1 lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) *
(java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
Pierre

--
Pierre Maurette

1 connue

05/06/2006 à 12:07

Merci pour l'aide.
J'ai testé avec plusieurs valeurs de n mais ca ne correspond pas à mon
intuition. Peut etre ai je mal posé mon probleme ?

Mais il clair que pour un tirage, on a 1 chance sur 6 d'avoir un six. Si n
tend vers l'infini, on est sur d'obtenir un six donc probabilité cumulée (je
sais pas si c'est le bon terme) = 1.
Hors je trouve des valeurs de P tres petite avec n grand !

Mon code issue du tien :

Pierre

public class Probabilite {
public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println( (n *
(Math.pow(5.0, (double) (n - 1)))) /
Math.pow(6.0, n));
System.out.println(n * ( (1.0 / 6) *
(Math.pow( (5.0 / 6), (n - 1)))));

}
public static void main(String[] args) {
int n = Integer.parseInt(args[0]);
Probabilite probabilite1 = new Probabilite(n);
}
"Pierre Maurette" a écrit dans le message de
news:

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS un
six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité de ne
pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six sur deux
lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le deuxième. Donc
(5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la probabilité de n'avoir
aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6) soit (5/6)^n (^ :
puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un six en n lancers est:
1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire, ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut procéder
par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de séquences de
lancers favorables possibles divisé par le nombre de séquences de lancers
possibles. Le nombre de séquences de lancers possibles, c'est un peu comme
le nombre de "mots" de n lettres différents écrits avec un alphabet de 6
lettres, donc 6^n. Ici, les lancers défavorables seront ceux qui ne
contiennent aucun six, donc l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive
heureusement au même résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n fois
sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer concerné)
x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers favorable
est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers possibles
est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par dénombrement
amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une division finale, et
que si on est certain de na pas dépasser la capacité des entiers, c'est la
solution la plus précise. Par probabilités élémentaires, on aura toujours
un résultat, mais menant tous les calculs en floattants, on aura un gros
risque de perte de prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas "résoudre"
la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers est
égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec n-1
lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) * (java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
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Pierre Maurette

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Merci pour l'aide.
J'ai testé avec plusieurs valeurs de n mais ca ne correspond pas à mon
intuition. Peut etre ai je mal posé mon probleme ?

Mais il clair que pour un tirage, on a 1 chance sur 6 d'avoir un six. Si n
tend vers l'infini, on est sur d'obtenir un six donc probabilité cumulée (je
sais pas si c'est le bon terme) = 1.
Hors je trouve des valeurs de P tres petite avec n grand !

Mon code issue du tien :

Pierre

public class Probabilite {
public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println( (n *
(Math.pow(5.0, (double) (n - 1)))) /
Math.pow(6.0, n));
System.out.println(n * ( (1.0 / 6) *
(Math.pow( (5.0 / 6), (n - 1)))));

}
public static void main(String[] args) {
int n = Integer.parseInt(args[0]);
Probabilite probabilite1 = new Probabilite(n);
}
"Pierre Maurette" <maurettepierre@wanadoo.fr> a écrit dans le message de
news: mn.2a6f7d661662aa88.31483@laposte.net...

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS un
six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité de ne
pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six sur deux
lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le deuxième. Donc
(5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la probabilité de n'avoir
aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6) soit (5/6)^n (^ :
puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un six en n lancers est:
1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire, ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut procéder
par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de séquences de
lancers favorables possibles divisé par le nombre de séquences de lancers
possibles. Le nombre de séquences de lancers possibles, c'est un peu comme
le nombre de "mots" de n lettres différents écrits avec un alphabet de 6
lettres, donc 6^n. Ici, les lancers défavorables seront ceux qui ne
contiennent aucun six, donc l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive
heureusement au même résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n fois
sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer concerné)
x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers favorable
est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers possibles
est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par dénombrement
amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une division finale, et
que si on est certain de na pas dépasser la capacité des entiers, c'est la
solution la plus précise. Par probabilités élémentaires, on aura toujours
un résultat, mais menant tous les calculs en floattants, on aura un gros
risque de perte de prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas "résoudre"
la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers est
égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec n-1
lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) * (java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
Pierre

--
Pierre Maurette

Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita http://www.x-privat.org/join.php

Vous avez filtré cet utilisateur ! Consultez son message

Merci pour l'aide.
J'ai testé avec plusieurs valeurs de n mais ca ne correspond pas à mon
intuition. Peut etre ai je mal posé mon probleme ?

Mais il clair que pour un tirage, on a 1 chance sur 6 d'avoir un six. Si n
tend vers l'infini, on est sur d'obtenir un six donc probabilité cumulée (je
sais pas si c'est le bon terme) = 1.
Hors je trouve des valeurs de P tres petite avec n grand !

Mon code issue du tien :

Pierre

public class Probabilite {
public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println( (n *
(Math.pow(5.0, (double) (n - 1)))) /
Math.pow(6.0, n));
System.out.println(n * ( (1.0 / 6) *
(Math.pow( (5.0 / 6), (n - 1)))));

}
public static void main(String[] args) {
int n = Integer.parseInt(args[0]);
Probabilite probabilite1 = new Probabilite(n);
}
"Pierre Maurette" a écrit dans le message de
news:

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS un
six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité de ne
pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six sur deux
lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le deuxième. Donc
(5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la probabilité de n'avoir
aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6) soit (5/6)^n (^ :
puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un six en n lancers est:
1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire, ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut procéder
par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de séquences de
lancers favorables possibles divisé par le nombre de séquences de lancers
possibles. Le nombre de séquences de lancers possibles, c'est un peu comme
le nombre de "mots" de n lettres différents écrits avec un alphabet de 6
lettres, donc 6^n. Ici, les lancers défavorables seront ceux qui ne
contiennent aucun six, donc l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive
heureusement au même résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n fois
sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer concerné)
x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers favorable
est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers possibles
est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par dénombrement
amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une division finale, et
que si on est certain de na pas dépasser la capacité des entiers, c'est la
solution la plus précise. Par probabilités élémentaires, on aura toujours
un résultat, mais menant tous les calculs en floattants, on aura un gros
risque de perte de prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas "résoudre"
la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers est
égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec n-1
lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) * (java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
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--
Pierre Maurette

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1 connue

05/06/2006 à 12:16

merci.
Je m'attends effectivement a quelque chose de cette ordre (permutation,
arrangement) mais je suis pas foutu de retrouver ce que je cherche.
J'imagine que c'est une esperance, je veux quantifier la chance d'avoir un
six apres n tirages. Si n tend vers l'infini, je m'attends à un valeur de 1
...

Pierre

"Raphael Tagliani" a écrit dans le message de
news:

A mon avis, pas de classe pour ce genre de calculs. Il devrait y avoir tout
ce que tu cherche ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Combinatoire
Mais fais bien attention à ce que tu cherche: une probabilité, une moyenne
ou une espérence?

1 connue wrote:
Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

D'avance merrci.

Pierre Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita
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Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita http://www.x-privat.org/join.php

Pierre Maurette

05/06/2006 à 12:46

Merci pour l'aide.
J'ai testé avec plusieurs valeurs de n mais ca ne correspond pas à mon
intuition. Peut etre ai je mal posé mon probleme ?

Mais il clair que pour un tirage, on a 1 chance sur 6 d'avoir un six. Si n
tend vers l'infini, on est sur d'obtenir un six donc probabilité cumulée (je
sais pas si c'est le bon terme) = 1.
Hors je trouve des valeurs de P tres petite avec n grand !

Mon code issue du tien :

Pierre

Je sais que la tartine que j'ai pondue est relativement indigeste. En
fait, je me suis surtout fait plaisir en me testant sur des souvenirs
de plus de trente ans ;-)
Mais il fallait quand même lire avant de récupérer le code. Il y a un
ambiguïté dans votre énoncé.

Première interprétation, quelle est la probabilité qu'il y ait AU MOINS
un six en n lancers. C'est presque trivial, vous aviez la formule, mais
pas le Java. C'est 1 - (5/6)^n qui tend bien vers 1 quand n devient
grand.

Seconde interprétation, quelle est la probabilité qu'il y ait
EXACTEMENT un six en n lancers. C'est celle-ci que j'ai codée en Java,
parce qu'elle illustrait un peu mieux la méthode "bourrin", consistant
à écrire bêtement la relation de récursivité. Il est intuitivement
évident que cette probabilité tend vers zéro quand n devient grand. Et
même que la probabilité commence par croitre avec n pour ensuite
décroitre:

int nMax = 20;
for (int n = 2; n < nMax; n++) {
double p1 = 1.0 / 6;
double p5 = 5.0 / 6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println("......................");
System.out.println("n = " + n);
System.out.println(P);
System.out.println( (n * (java.lang.Math.pow(5.0, (double) (n - 1))))
/ java.lang.Math.pow(6.0, n));
System.out.println(n * ( (1.0 / 6) * (java.lang.Math.pow( (5.0 / 6),
(n - 1)))));
}

--
Pierre Maurette

Pierre Maurette

05/06/2006 à 12:50

(supersedes )

Merci pour l'aide.
J'ai testé avec plusieurs valeurs de n mais ca ne correspond pas à mon
intuition. Peut etre ai je mal posé mon probleme ?

Mais il clair que pour un tirage, on a 1 chance sur 6 d'avoir un six. Si n
tend vers l'infini, on est sur d'obtenir un six donc probabilité cumulée
(je sais pas si c'est le bon terme) = 1.
Hors je trouve des valeurs de P tres petite avec n grand !

Mon code issue du tien :

Pierre

Je sais que la tartine que j'ai pondue est relativement indigeste. En
fait, je me suis surtout fait plaisir en me testant sur des souvenirs
de plus de trente ans ;-)
Mais il fallait quand même lire avant de récupérer le code. Il y a un
ambiguïté dans votre énoncé.

Première interprétation, quelle est la probabilité qu'il y ait AU MOINS
un six en n lancers. C'est presque trivial, vous aviez la formule, mais
pas le Java. C'est 1 - (5/6)^n qui tend bien vers 1 quand n devient
grand.

Seconde interprétation, quelle est la probabilité qu'il y ait
EXACTEMENT un six en n lancers. C'est celle-ci que j'ai codée en Java,
parce qu'elle illustrait un peu mieux la méthode "bourrin", consistant
à écrire bêtement la relation de récursivité. Il est intuitivement
évident que cette probabilité tend vers zéro quand n devient grand. Et
même que la probabilité commence par croitre avec n pour ensuite
décroitre:

int nMax = 20;
for (int n = 2; n < nMax; n++) {
double p1 = 1.0 / 6;
double p5 = 5.0 / 6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println("......................");
System.out.println("n = " + n);
System.out.println(P);
System.out.println( (n * (java.lang.Math.pow(5.0, (double) (n - 1))))
/ java.lang.Math.pow(6.0, n));
System.out.println(n * ( (1.0 / 6) * (java.lang.Math.pow( (5.0 / 6),
(n - 1)))));
}

Essayez:
int nMax = 200;
for (int n = 2; n < nMax; n+) {
/* etc. */

pour vérifier que la probabilité devient "rapidement" "infime".

--
Pierre Maurette

(supersedes <mn.2afe7d66ff7fe84c.31483@laposte.net>)

Merci pour l'aide.
J'ai testé avec plusieurs valeurs de n mais ca ne correspond pas à mon
intuition. Peut etre ai je mal posé mon probleme ?

Mais il clair que pour un tirage, on a 1 chance sur 6 d'avoir un six. Si n
tend vers l'infini, on est sur d'obtenir un six donc probabilité cumulée
(je sais pas si c'est le bon terme) = 1.
Hors je trouve des valeurs de P tres petite avec n grand !

Mon code issue du tien :

Pierre

Je sais que la tartine que j'ai pondue est relativement indigeste. En
fait, je me suis surtout fait plaisir en me testant sur des souvenirs
de plus de trente ans ;-)
Mais il fallait quand même lire avant de récupérer le code. Il y a un
ambiguïté dans votre énoncé.

Première interprétation, quelle est la probabilité qu'il y ait AU MOINS
un six en n lancers. C'est presque trivial, vous aviez la formule, mais
pas le Java. C'est 1 - (5/6)^n qui tend bien vers 1 quand n devient
grand.

Seconde interprétation, quelle est la probabilité qu'il y ait
EXACTEMENT un six en n lancers. C'est celle-ci que j'ai codée en Java,
parce qu'elle illustrait un peu mieux la méthode "bourrin", consistant
à écrire bêtement la relation de récursivité. Il est intuitivement
évident que cette probabilité tend vers zéro quand n devient grand. Et
même que la probabilité commence par croitre avec n pour ensuite
décroitre:

int nMax = 20;
for (int n = 2; n < nMax; n++) {
double p1 = 1.0 / 6;
double p5 = 5.0 / 6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println("......................");
System.out.println("n = " + n);
System.out.println(P);
System.out.println( (n * (java.lang.Math.pow(5.0, (double) (n - 1))))
/ java.lang.Math.pow(6.0, n));
System.out.println(n * ( (1.0 / 6) * (java.lang.Math.pow( (5.0 / 6),
(n - 1)))));
}

Essayez:
int nMax = 200;
for (int n = 2; n < nMax; n+) {
/* etc. */

pour vérifier que la probabilité devient "rapidement" "infime".

--
Pierre Maurette

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1 connue

05/06/2006 à 13:06

Je suis repartie de ta formule 1 - (1-p)^n

soit en java :

public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 1 - p1;
System.out.println("tirage no 1");
System.out.println("P cumulée = " + p1 );

for (int i = 2; i <= n; i++) {
System.out.println("tirage no " + i );
p5 *= p5;
double P = 1.0d - p5;
System.out.println("P cumulée = " + P );
}

Le résultat me semble bon :

tirage no 1
P cumulée = 0.16666666666666666
tirage no 2
P cumulée = 0.30555555555555547
tirage no 3
P cumulée = 0.5177469135802468
tirage no 4
P cumulée = 0.767431960638622
tirage no 5
P cumulée = 0.9459121070676045
tirage no 6
P cumulée = 0.9970744998381337
tirage no 7
P cumulée = 0.9999914414488029
tirage no 8
P cumulée = 0.9999999999267511
tirage no 9
P cumulée = 1.0

Merci

Pierre

"Pierre Maurette" a écrit dans le message de
news:

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS un
six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité de ne
pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six sur deux
lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le deuxième. Donc
(5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la probabilité de n'avoir
aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6) soit (5/6)^n (^ :
puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un six en n lancers est:
1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire, ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut procéder
par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de séquences de
lancers favorables possibles divisé par le nombre de séquences de lancers
possibles. Le nombre de séquences de lancers possibles, c'est un peu comme
le nombre de "mots" de n lettres différents écrits avec un alphabet de 6
lettres, donc 6^n. Ici, les lancers défavorables seront ceux qui ne
contiennent aucun six, donc l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive
heureusement au même résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n fois
sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer concerné)
x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers favorable
est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers possibles
est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par dénombrement
amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une division finale, et
que si on est certain de na pas dépasser la capacité des entiers, c'est la
solution la plus précise. Par probabilités élémentaires, on aura toujours
un résultat, mais menant tous les calculs en floattants, on aura un gros
risque de perte de prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas "résoudre"
la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers est
égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec n-1
lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) * (java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
Pierre

--
Pierre Maurette

Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita http://www.x-privat.org/join.php

Je suis repartie de ta formule 1 - (1-p)^n

soit en java :

public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 1 - p1;
System.out.println("tirage no 1");
System.out.println("P cumulée = " + p1 );

for (int i = 2; i <= n; i++) {
System.out.println("tirage no " + i );
p5 *= p5;
double P = 1.0d - p5;
System.out.println("P cumulée = " + P );
}

Le résultat me semble bon :

tirage no 1
P cumulée = 0.16666666666666666
tirage no 2
P cumulée = 0.30555555555555547
tirage no 3
P cumulée = 0.5177469135802468
tirage no 4
P cumulée = 0.767431960638622
tirage no 5
P cumulée = 0.9459121070676045
tirage no 6
P cumulée = 0.9970744998381337
tirage no 7
P cumulée = 0.9999914414488029
tirage no 8
P cumulée = 0.9999999999267511
tirage no 9
P cumulée = 1.0

Merci

Pierre

"Pierre Maurette" <maurettepierre@wanadoo.fr> a écrit dans le message de
news: mn.2a6f7d661662aa88.31483@laposte.net...

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS un
six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité de ne
pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six sur deux
lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le deuxième. Donc
(5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la probabilité de n'avoir
aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6) soit (5/6)^n (^ :
puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un six en n lancers est:
1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire, ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut procéder
par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de séquences de
lancers favorables possibles divisé par le nombre de séquences de lancers
possibles. Le nombre de séquences de lancers possibles, c'est un peu comme
le nombre de "mots" de n lettres différents écrits avec un alphabet de 6
lettres, donc 6^n. Ici, les lancers défavorables seront ceux qui ne
contiennent aucun six, donc l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive
heureusement au même résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n fois
sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer concerné)
x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers favorable
est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers possibles
est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par dénombrement
amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une division finale, et
que si on est certain de na pas dépasser la capacité des entiers, c'est la
solution la plus précise. Par probabilités élémentaires, on aura toujours
un résultat, mais menant tous les calculs en floattants, on aura un gros
risque de perte de prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas "résoudre"
la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers est
égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec n-1
lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) * (java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
Pierre

--
Pierre Maurette

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Vous avez filtré cet utilisateur ! Consultez son message

Je suis repartie de ta formule 1 - (1-p)^n

soit en java :

public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 1 - p1;
System.out.println("tirage no 1");
System.out.println("P cumulée = " + p1 );

for (int i = 2; i <= n; i++) {
System.out.println("tirage no " + i );
p5 *= p5;
double P = 1.0d - p5;
System.out.println("P cumulée = " + P );
}

Le résultat me semble bon :

tirage no 1
P cumulée = 0.16666666666666666
tirage no 2
P cumulée = 0.30555555555555547
tirage no 3
P cumulée = 0.5177469135802468
tirage no 4
P cumulée = 0.767431960638622
tirage no 5
P cumulée = 0.9459121070676045
tirage no 6
P cumulée = 0.9970744998381337
tirage no 7
P cumulée = 0.9999914414488029
tirage no 8
P cumulée = 0.9999999999267511
tirage no 9
P cumulée = 1.0

Merci

Pierre

"Pierre Maurette" a écrit dans le message de
news:

Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

Effectivement, un simple calcul devrait suffire. Ce qu'il faut savoir:
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, bornes comprises.
- La probabilité qu'un évènement ne "se passe pas" et égale à 1 - la
probabilité qu'il se passe.
- La probabilité que se produise un évènement ET un autre s'obtient en
multipliant leurs deux probabilités.
- La probabilité que se produise un évènement OU un autre s'obtient en
additionnant leurs deux probabilités.
(les deux évènement doivent s'exclure mutuellement)

Pour votre problème de dé, en lisant: "probabilté d'avoir tiré AU MOINS un
six avec un dés apres n tirages", c'est tout simple. La probabilité de ne
pas tirer un six sur un lancer est de 5/6 (ou 1 - 1/6). Aucun six sur deux
lancers, c'est aucun six sur le premier ET aucun six sur le deuxième. Donc
(5/6)x(5/6). Etc. par évidence ou récurrence, la probabilité de n'avoir
aucun six sur n lancer est (5/6)x(5/6)x...(5/6) soit (5/6)^n (^ :
puissance). Donc, la probabilité d'avoir au moins un six en n lancers est:
1 - (5/6)^n. Si p est la probabilité élémentaire, ça donne 1 - (1-p)^n.
Ça, c'est le calcul basé sur la probabilité élémentaire. On peut procéder
par dénombrement. La probabilité sera alors le nombre de séquences de
lancers favorables possibles divisé par le nombre de séquences de lancers
possibles. Le nombre de séquences de lancers possibles, c'est un peu comme
le nombre de "mots" de n lettres différents écrits avec un alphabet de 6
lettres, donc 6^n. Ici, les lancers défavorables seront ceux qui ne
contiennent aucun six, donc l'alphabet est réduit à 5 lettres et on arrive
heureusement au même résultat:
((6^n)-(5^n))/(6^n) ou 1 - ((5^n)/(6^n)) ou 1 - (5/6)^n

Lisons maintenant la question différemment: "probabilté d'avoir tiré
EXACTEMENT un six avec un dés apres n tirages". On voit bien que le
problème est "divisible par n", c'est à dire qu'il y aura n cas
équuivalents, selon que l'unique six est en position 1, 2, ..., n. En
fait, c'est un OU entre n cas à probabilité égale, cette ADDITION n fois
sera une multiplication par n. Intuitivement, on peut préférer le
dénombrement, mais les deux raisonnements fonctionnent.
Par probabilités élémentaires:
n fois (déjà expliqué) x (la probabilité d'un six dans le lancer concerné)
x (la probabilité d'aucun six dans les n-1 autres lancers)
C'est à dire: n x ((1/6) x ((5/6)^(n-1)))
Par dénombrement, plus simple peut-être: pour chaque position du lancer
avec un six (donc n fois) il faut que les autres lancers ne comportent
aucun six, dons un alphabet de 5 lettres pour faire des mots de (n-1)
lettres, c'est à dire 5^(n-1). Le nombre de séquences de lancers favorable
est donc de: n x (5^(n-1)). Le nombre de séquences de lancers possibles
est toujours de 6^n. Donc la probabilité est de:
(n x (5^(n-1))) / (6^n)
C'est la même chose, ouf...

Pour le passage à l'informatique, notons que les méthodes par dénombrement
amèneront plutôt des calculs sur des entiers avec une division finale, et
que si on est certain de na pas dépasser la capacité des entiers, c'est la
solution la plus précise. Par probabilités élémentaires, on aura toujours
un résultat, mais menant tous les calculs en floattants, on aura un gros
risque de perte de prècision en cours de calcul.
Enfin, notons qu'on peut arriver au résultat par récurrence et que
l'informatique autorise à être bourrin, c'est à dire à ne pas "résoudre"
la relation de récurrence parfois évidente et à la code dans un for(;;).
Par exemple la probabilité Pn d'avoir exactement un six avec n lancers est
égale Pn-1 (probabilité d'avoir exactement un six avec n-1 lancers)
multipliée par 5/6 plus P0n-1 (probabilité de n'avoir aucun six avec n-1
lancers) multipliée par 1/6. Vérification en Java (enfin !):

int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 5.0/6;
double P = p1;
double P0 = p5;
for(int i = 2; i <= n; i++){
P = (P * p5) + (P0 * p1);
P0 = P0 * p5;
}
System.out.println(P);
System.out.println((n *
(java.lang.Math.pow(5.0,(double)(n-1)))) /
Java.lang.Math.pow(6.0,n));
System.out.println(n * ((1.0/6) * (java.lang.Math.pow((5.0/6),(n-1)))));

D'avance merrci.
De rien

Pierre
Pierre

--
Pierre Maurette

Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita http://www.x-privat.org/join.php

Pierre Maurette

05/06/2006 à 13:17

Je suis repartie de ta formule 1 - (1-p)^n

soit en java :

public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 1 - p1;
System.out.println("tirage no 1");
System.out.println("P cumulée = " + p1 );

for (int i = 2; i <= n; i++) {
System.out.println("tirage no " + i );
p5 *= p5;
double P = 1.0d - p5;
System.out.println("P cumulée = " + P );
}

Le résultat me semble bon :

tirage no 1
P cumulée = 0.16666666666666666
tirage no 2
P cumulée = 0.30555555555555547
tirage no 3
P cumulée = 0.5177469135802468
tirage no 4
P cumulée = 0.767431960638622
tirage no 5
P cumulée = 0.9459121070676045
tirage no 6
P cumulée = 0.9970744998381337
tirage no 7
P cumulée = 0.9999914414488029
tirage no 8
P cumulée = 0.9999999999267511
tirage no 9
P cumulée = 1.0

Je crains que ces résultats ne soient faux. Il n'y a pas autant de
chances d'avoir un six avec aussi peu de tirages. Appliquez simplement
la formule (sans boucle, bien sûr):
(1 - java.lang.Math.pow((5.0/6), n))

--
Pierre Maurette

1 connue

05/06/2006 à 13:43

c'est que j'avais essayé en premier mais comme je me suis planté, j'ai fait
cette tentative avec la boucle !

Resultat maintenant correct :

tirage no 1
P cumulée = 0.16666666666666663
tirage no 2
P cumulée = 0.30555555555555547
tirage no 3
P cumulée = 0.4212962962962963
tirage no 4
P cumulée = 0.5177469135802468
tirage no 5
P cumulée = 0.598122427983539
tirage no 6
P cumulée = 0.6651020233196159
tirage no 7
P cumulée = 0.7209183527663465
tirage no 8
P cumulée = 0.7674319606386221
tirage no 9
P cumulée = 0.8061933005321851
tirage no 10
P cumulée = 0.8384944171101543
...
tirage no 29
P cumulée = 0.9949447357202951
tirage no 30
P cumulée = 0.9957872797669126

Merci

Pierre

"Pierre Maurette" a écrit dans le message de
news:

Je suis repartie de ta formule 1 - (1-p)^n

soit en java :

public Probabilite(int n) {
// int n = 12;
double p1 = 1.0/6;
double p5 = 1 - p1;
System.out.println("tirage no 1");
System.out.println("P cumulée = " + p1 );

for (int i = 2; i <= n; i++) {
System.out.println("tirage no " + i );
p5 *= p5;
double P = 1.0d - p5;
System.out.println("P cumulée = " + P );
}

Le résultat me semble bon :

tirage no 1
P cumulée = 0.16666666666666666
tirage no 2
P cumulée = 0.30555555555555547
tirage no 3
P cumulée = 0.5177469135802468
tirage no 4
P cumulée = 0.767431960638622
tirage no 5
P cumulée = 0.9459121070676045
tirage no 6
P cumulée = 0.9970744998381337
tirage no 7
P cumulée = 0.9999914414488029
tirage no 8
P cumulée = 0.9999999999267511
tirage no 9
P cumulée = 1.0

Je crains que ces résultats ne soient faux. Il n'y a pas autant de chances
d'avoir un six avec aussi peu de tirages. Appliquez simplement la formule
(sans boucle, bien sûr):
(1 - java.lang.Math.pow((5.0/6), n))

--
Pierre Maurette

Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita http://www.x-privat.org/join.php

Bruno Jouhier

07/06/2006 à 10:09

La proba de ne pas avoir de 6 est 5/6 sur 1 tirage et (5/6)^N sur N tirages.
La proba que tu cherches est donc 1 - (5/6)^N, qui tend bien vers 1 quand N
tend vers l'infini.

Bruno

"1 connue" a écrit dans le message de news:

merci.
Je m'attends effectivement a quelque chose de cette ordre (permutation,
arrangement) mais je suis pas foutu de retrouver ce que je cherche.
J'imagine que c'est une esperance, je veux quantifier la chance d'avoir un
six apres n tirages. Si n tend vers l'infini, je m'attends à un valeur de
1 ...

Pierre

"Raphael Tagliani" a écrit dans le message de
news:
A mon avis, pas de classe pour ce genre de calculs. Il devrait y avoir
tout ce que tu cherche ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Combinatoire
Mais fais bien attention à ce que tu cherche: une probabilité, une
moyenne ou une espérence?

1 connue wrote:
Bonjour à tous,

Auriez vous une classe sous la main qui me permette de calculer la
probabilité cumulée d'évenement indépendants.
ex probabilté d'avoir tiré un six avec un dés apres n tirages.

La formule (que j'arrive pas à retrouver !) suffirait aussi.

D'avance merrci.

Pierre Inviato da X-Privat.Org - Registrazione gratuita
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Probabilité cumulée

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