Covariance des équations de Maxwell et transformation du champ électromagnétique

Covariance des équations de Maxwell et transformation du champ électromagnétique

Les équations de Maxwell sans sources s'écrivent :

$$ (1) \, \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 $$
$$ (2) \, \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \partial_t \, \vec{B} $$
$$ (3) \, \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 $$
$$ (4) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} = \partial_t \, \vec{E} $$

Toutes les lois de la physique étant supposées invariantes sous une transformation de Lorentz, cela est vrai en particulier pour l'électromagnétisme. On recherche les transformations de $$ \vec{E}' $$ et $$ \vec{B}' $$ qui vérifient les équations de Maxwell dans un nouveau système de coordonnées :

$$ \vec{\nabla}' \cdot \vec{E}' = 0 $$
$$ \vec{\nabla}' \times \vec{E}' = - \partial_t' \, \vec{B}' $$
$$ \vec{\nabla}' \cdot \vec{B}' = 0 $$
$$ \vec{\nabla}' \times \vec{B}' = \partial_t' \, \vec{E}' $$


Par abus de notation, on écrira $$ \partial_t = \frac{\partial}{\partial t}$$.
Transformation du gradient $$ \vec{\nabla} $$ et $$ \partial_t $$, on démontre facilement que :
$$ \vec{\nabla} = \gamma ( \vec{\nabla}_{\|}' - \vec{v} \, \partial_t') + \vec{\nabla}_{\perp}' $$
$$ \partial_t = \gamma ( \partial_t' - \vec{v} \cdot \vec{\nabla}') $$

Dans le nouveau système de coordonnées l'équation $$ (1) $$ s'écrit :
$$ (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} - \gamma \, \vec{v} \cdot \partial_t' \vec{E} = 0$$
On transforme $$ \partial_t' \vec{E} = \gamma \partial_t \vec{E} + \gamma \not{\vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E})} $$ :
$$ (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} - \gamma^2 v^2 \vec{\nabla}_{\|} \cdot \vec{E} - \gamma^2 \, \vec{v} \cdot \partial_t \, \vec{E} = 0$$
En utilisant les équations $$(1)$$ et $$(2)$$ :
$$ (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} + \gamma^2 v^2 \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \vec{E} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0$$
On sépare les composantes transverses et longitudinales
$$ (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E}_{\|} + \gamma^2 \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \vec{E}_{\perp} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0$$
$$ (1) \, \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E}_{\|} + \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) \right) = 0$$
Et nous obtenons finalement :
$$ (1) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = 0$$


Procédons maintenant aux transformations de l'équation $$ (2) $$ :
$$ (2) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} = \gamma (\partial_t' - \vec{v} \cdot \vec{\nabla}') \vec{E} $$
$$ \vec{\nabla}' \vec{E} $$ est le gradient d'un vecteur c'est un tenseur à 9 composantes.
$$ \vec{\nabla}' \vec{E} = \gamma \vec{\nabla} \vec{E} + \gamma \, \vec{v} \, \partial_t \vec{E}$$
$$ (2) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma^2 v^2 \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = \gamma \, \partial_t' \, \vec{E} $$
$$ (2) \, \gamma \, \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = \partial_t' \, \vec{E} $$
En utilisant l'équation $$ (1) $$ on vérifie explicitement que $$ \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = - \vec{\nabla} \times (\vec{v} \times \vec{E}) $$
$$ (2) \, \gamma \, \vec{\nabla} \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \, \vec{E} $$
$$ (2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) - \gamma^2 \vec{v} \times \partial_t' (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \vec{E}$$
$$ (2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \left(\vec{E} + \gamma^2 \vec{v} \times \vec{B} - \gamma^2 \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{E}) \right) $$
On évalue le double produit vectoriel : $$ \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{E}) = - v^2 \vec{E}_{\perp} $$, et on obtient :
$$ (2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \left( \gamma^2 (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) $$
On repère les termes transverses ($$ \vec{X}_{\|} \times \vec{Y}$$ ou $$ \vec{X} \times \vec{Y}_{\|} $$) pour effectuer les simplifications nécessaires :
$$ (2) \, \gamma^{\not{2}} \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{\nabla}_{\perp}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \not{\gamma} \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma^{\not{2}} (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) $$
Et on obtient finalement :
$$ (2) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) $$

En procédant de façon similaire avec les équations $$(3)$$ et $$(4)$$, les équations de Maxwell prennent la forme suivante dans le nouveau système de coordonnées :
$$ (1) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = 0$$
$$ (2) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) $$
$$ (3) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = 0$$
$$ (4) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = -\partial_t' \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) $$

Les transformations des champs $$\vec{E}$$ et $$\vec{B}$$, avec les bonnes unités :
$$ \vec{E}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} $$
$$ \vec{B}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} $$


$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{E}_{\|}' = \vec{E}_{\|} \\ \vec{E}_{\perp}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{B}_{\|}' = \vec{B}_{\|} \\ \vec{B}_{\perp}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) \end{array} \right. $$

Dans l'approximation des basses vitesses, $$ \gamma \rightarrow 1 $$, $$ \frac{v}{c^2} \rightarrow 0$$, on retrouve bien la transformation galiléenne :
$$ \vec{E}' = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} $$
$$ \vec{B}' = \vec{B} $$

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